La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental, trabajando con medios homogéneos y con un solo fluido. Sin embargo la formulación más simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse casi “intuitiva”: El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de:

1. Las propiedades geométricas del sistema: Área (A) y Longitud (L).
2. Las características del fluido: Principalmente su Viscosidad (µ).
3. Las condiciones de flujo: Diferencia de Presión (DP) entre los extremos del sistema.

De este modo resulta casi “evidente” que, a igualdad de las otras variables del sistema, el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la diferencia de presión aplicada y con el área de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido.

En forma analítica esta dependencia se expresa en la siguiente fórmula:

• Q = K . A . DP / (µ . L)  ………. [1]

Donde la constante que vincula ambos términos de la ecuación se conoce como Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio. Expresado en otras palabras: Cualquier cambio en las variables que se encuentran en el lado derecho de la expresión produce un re-acomodamiento en las otras variables, o en el caudal, pero la Permeabilidad permanece inalterada.

Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no depende del fluido, ni de la geometría del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma:

La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos. 

En la práctica, dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema.

En el modelo empleado para la medición y cálculo de la permeabilidad de un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos.

Dicho modelo (Conducción = Inyección = Producción) es  absolutamente válido en las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible, lineal y monofásico).

Sin embargo, en los Reservorios reales, casi nunca se está en condiciones de flujo monofásico. Por el contrario es frecuente el flujo bifásico ó trifásico. En estos casos se continúa respetando la ecuación de Darcy, a la que se agrega un factor de corrección. Este factor de corrección toma la forma de una curva, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema. En estos casos, tomando como ejemplo el flujo simultáneo de agua y petróleo, la ecuación [1] adquiere la forma:

• Q_w = K . Kr_w . A . DP_w / (µ_w . L)  ………. [2]
• Q_o = K . Kr_o . A . DP_o / (µ_o . L)  ………. [3]

Donde los subíndices “w” y “o”  hacen referencia al agua y al petróleo respectivamente. La validez de esta generalización queda demostrada si el caudal de cada fase es proporcional a la diferencia de presión aplicada a cada una de ellas para una determinada saturación de fases.

• Nota: En ausencia de Presión Capilar, ambas diferencias de presión resultan coincidentes.

Los términos “K . Kr_w ” y “K . Kr_o ” se reemplazan regularmente por “K_w” (permeabilidad efectiva al agua) y  “K_o”  (permeabilidad efectiva al petróleo)

Sin embargo al realizar esta generalización de la ley de Darcy suele olvidarse (de hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir, Inyectar y Producir). Como veremos, esta observación esta muy lejos de ser trivial. Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa.

En base a lo expuesto, en flujos multifásicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como:

Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación de fluidos. 

Sin embargo, en general dicha capacidad de conducción no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyección o de producción.

Y cabe recordar que en los casos reales (caracterización de reservorios) los datos de mayor interés son:

• La Saturación Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un Balance de Materiales  o una celda en un simulador numérico).
• La capacidad de inyectar en un punto específico del bloque (pozo inyector o contacto con celdas cercanas).
• La capacidad de producir en un punto específico (pozo productor o contacto con celdas cercanas).

De este modo, aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto, dado que el interés se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido.

En términos simples, cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como ocurre en todos los reservorios reales durante la explotación) se puede inyectar una cosa, conducir otra y producir otra totalmente diferente.

La forma en que esta característica afecta la medición y traslado de la información de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente¹.

Este análisis continua en el texto: La ley de Darcy en Flujos Multifásicos.

■ REFERENCIAS

1 – Crotti, M.,  and Cobeñas, R., “Scaling Up of Laboratory Relative Permeability Curves. An Advantageous Approach Based on Realistic Average Water Saturations”, SPE 69394

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