Es posible que el ejemplo desarrollado en esta página deba ser leído con mucho detenimiento para comprender en toda su magnitud el mensaje asociado. Básicamente presentaré  una demostración simple de dos puntos que son incompatibles con el uso habitual de las curvas de KR. Estos dos puntos pueden resumirse de la siguiente forma:

1. Dos historias de producción totalmente diferentes pueden tener asociada la misma curva de Permeabilidad Relativa.

2. Cuando intervienen fuerzas capilares y gravitatorias, el uso de pseudo funciones presenta severas restricciones, incluso cuando se tienen en cuenta estas fuerzas para desarrollar las pseudo-funciones. (No estoy haciendo referencia a un problema constructivo sino a un serio problema conceptual).

El ejemplo

Para la demostración voy a usar un típico esquema de reservorio en capas para derivar las pseudo-funciones de KR, empleando dos situaciones extremas.

• Capas totalmente no-comunicadas (sin cross-flow), con predominio total de las fuerzas viscosas.

• Capas totalmente comunicadas con predominio total de las fuerzas gravitatorias.

El esquema de reservorio se puede ver en la figura 1, con 10 capas de igual espesor, igual porosidad y permeabilidades crecientes del tope hacia la base. Las permeabilidades se han elegido crecientes de 1 a 10 mD, en forma arbitraria.

Aunque las conclusiones son válidas para cualquier modelo más complejo, el empleo  de un modelo simple permite entender cabálmente el planteo realizado y sus consecuencias.

Por razones que se harán evidentes más adelante (y que se relacionan con la posibilidad de emplear el concepto de KR) se elige una relación de movilidades igual a 1 (M = (k_w/u_w)/(K_o/u_o) = 1), asumiendo un desplazamiento tipo “pistón” para el caso de desplazamiento viscoso.

Para construir las pseudo-funciones de KR se procederá de acuerdo a la metodología de amplia aceptación, desarrollada por Dake. Para ello se construye la KR puntual en la cara de salida, resolviendo caudales y saturación de fases en el extremo de producción (identificado con el sub-índice “2”).

Primer caso: Capas no comunicadas

En este caso cada capa es barrida a una velocidad que se relaciona en forma directa con su permeabilidad. Como las movilidades son iguales (M=1), una vez establecida la presión de desplazamiento, el reemplazo de una fase por otra no afecta el caudal total de la capa. De este modo, la capa de permeabilidad = 10 mD se barre 10 veces más rápido que la capa de permeabilidad = 1mD.

Para realizar las cuentas voy a asumir una serie de valores típicos para los parámetros significativos. De este modo en todas las capas se asignan:

• Swi= 25 %

• Sor = 30 %

• Kro[Swirr] = 1.00

• Krw[Sor] = 0.33

• Uo = 3.00 cp

• Uw 1.00 cp

• Desplazamiento = Pistón Perfecto

Cuando se produce el breakthrough en la capa más permeable (cuando el frente de  agua alcanza la cara de producción), la capa menos permeable está barrida en sólo un 10% de su longitud, y las demás capas, en forma proporcional a su permeabilidad. Esta situación se ejemplifica en la Figura 2.

De este modo, la saturación de agua en el extremo de producción (S_w2), en las condiciones de la Fig. 2 puede calcularse como:

S_w2 = Swirr + 0.1 * (100-Swirr-Sor) = 25 + 0.1 * (100 – 25 – 30) = 29.5

Y la permeabilidad relativa al agua es:

Krw₂ = 0.33 * 10 / (10+9+…+1) = 0.33 * 10 / 55 = 0.061

Y repitiendo los cálculos a medida que evoluciona el desplazamiento se obtiene la siguiente curva de KR (Fig. 3).

Cuya tabla de valores es (Tabla I):

Tabla 1. Curva de KR para el sistema de la Fig.2

Segundo caso: Capas comunicadas con total segregación gravitacional.

En este caso las capas se van acuatizando desde la base hacia el tope pues el agua inyectada alcanza el equilibrio gravitacional con el petróleo dentro del medio poroso. De este modo, la capa de permeabilidad = 10 mD se barre primero, sencillamente porque está en la parte baja de la estructura. En la Figura 4 se esquematiza la situación para cuando la capa inferior está completamente acuatizada.

Y haciendo las cuentas, como en el caso anterior, se obtiene EXACTAMENTE la misma pseudo función que para el caso de capas no comunicadas, puesto que las capas se llenan exactamente en el mismo orden.

¿Sorprendente?

¡Por supuesto! Pueden hacerse las cuentas, pero es evidente que las historias de producción son totalmente diferentes. Puede observarse, por comparación de las figuras 2 y 4, que aunque se tiene la misma RAP en los dos casos (la capa más permeable produciendo agua y todas las otras petróleo) la acumulada de petróleo es mucho más grande en la Fig. 2 que en la Fig. 4.

Las aclaraciones

1. 1. En el primer caso estudiado se estableció que las capas no estaban comunicadas. Esta restricción no es necesaria con M=1 pues en estas condiciones los gradientes de presión en todas las capas son idénticos (lineales) y, por lo tanto la única fuerza impulsora para el “cross flow” es la gravitatoria. Y la fuerza gravitatoria pierde importancia con viscosidades elevadas, pequeñas diferencias de densidad, bajas permeabilidades verticales y altas velocidades de flujo.
   2. En base a la aclaración previa puede observarse que los dos casos presentados son posibles en el mismo reservorio. Con altos caudales el sistema se aproxima al del caso 1, y con muy bajos caudales, la acción de la gravedad hace más representativa la situación presentada en el caso 2.
   3. Para ayudar a comprender el mecanismo de producción con equilibrio vertical (predominio de las fuerzas gravitatorias) puede hacerse una visualización por etapas:
      • En una primera etapa (y para un tiempo corto de inyección), en el extremo de inyección cada capa admite un volumen de agua en relación directa a su permeabilidad. En el extremo de producción de cada capa se produce el mismo volumen que el inyectado (suposición de fluidos incompresibles). Las capas no acuatizadas producen petróleo y las acuatizadas sólo agua.
      • En una segunda etapa (sólo a los fines de la visualización) el agua se reacomoda de acuerdo con la acción de la gravedad (conviene pensar en este punto como si se cerrara el sistema hasta alcanzar el equilibrio en función de la densidad de las diferentes fases).
      • Se vuelve a la primera etapa.

      De esta forma todas las capas producen (dado que tienen un gradiente de presión aplicado entre ambos extremos), pero el “frente” de agua avanza en el sentido vertical entre etapa y etapa.

• En el ejemplo desarrolado, técnicamente las pseudo funciones son diferentes para los dos sistemas. En el primer caso la función es escalonada y en el segundo los puntos están unidos por líneas rectas continuas conforme al esquema de llenado. Sin embargo la división en 10 capas es arbitraria. Pueden elegirse tantas capas como se crea necesario para definir una función continua o simplemente una gradación continua de permeabilidades (“infinitas” capas) con idéntico resultado que el desarrollado en este planteo.

Las consecuencias

Como resultado directo del ejemplo disponemos de un caso simple donde se muestra que la misma curva de Permeabilidad Relativa puede corresponder a dos historias de producción muy diferentes.

Como se discute más adelante, este caso no es una excepción. Por el contrario es la regla para todos los casos en que las fuerzas involucradas en el desplazamiento no sean sólo las viscosas.

A esta altura cabe hacerse una pregunta simple: ¿Cómo puede determinarse si en el reservorio están actuando sólo las fuerzas viscosas?

La respuesta también es “simple”: Si la relación de producción (agua-petróleo o gas-petróleo) depende de los caudales, existe una fuerte indicación de que hay otras fuerzas implicadas en los mecanismos de producción. La teoría del desplazamiento frontal (que caracteriza el desplazamiento viscoso) es la única que muestra independencia de la relación de producción con el caudal.

Las explicaciones

Parece evidente que en alguna parte del ejemplo desarrollado cometí alguna transgresión, puesto que uno de los supuestos básicos en los cálculos de reservorio es que existe una dependencia directa entre la curva de permeabilidad relativa y la historia de producción. Y, por supuesto, la transgresión existe. Pero es mucho más profunda que un ejemplo engañoso o mal analizado.

En realidad el ejemplo es transparente y lo que está poniendo de manifiesto es una falla seria en las simplificaciones habituales. Para poder detectar esta falla, voy a tratar de desmenuzar la cadena de razonamientos que acompaña al uso habitual de las curvas KR (directas o pseudo-funciones). Esta cadena puede enunciarse de la siguiente forma.

1. La ley de Darcy describe razonablemente bien el flujo monofásico en un medio poroso. La parte más simple, que quiero destacar por su importancia, establece que el caudal es proporcional al gradiente de presión.
2. La ley de Darcy es muy simple y casi “intuitiva”.
3. El flujo multifásico se aparta notoriamente de la ley de Darcy. El caudal pasa a depender notoriamente de otras variables (saturación de fases, historia de saturaciones, mojabilidad, etc, etc).
4. Por facilidad conceptual y numérica es frecuente conservar las leyes simples con factores de corrección adecuados para alejamientos de la “idealidad”.
5. Las curvas de permeabilidad relativa constituyen el “factor” de corrección para la ley de Darcy. A cada saturación del sistema se le aplica un factor de corrección variable entre 0 y 1. La experiencia demostró que este factor no es predecible ni correlacionable y depende de numerosas variables.
6. La práctica generó dos definiciones, generalmente no bien diferenciadas para el término permeabilidad relativa. A nivel de laboratorio es la curva obtenida en función de las saturaciones puntuales, originada sólo por efecto de las fuerzas viscosas luego de simplificar y establecer las demás variables del sistema. A nivel de reservorio es la curva que permite predecir los caudales de producción en función de la saturación media del sistema y que es el resultado del mecanismo de producción que involucra todas las fuerzas en equilibrio y variables conocidas (o no) del reservorio.
7. Para un medio poroso y un juego de fluidos elegido, existen “infinitas” curvas de KR, puesto que existen “infinitos” equilibrios entre las tres fuerzas principales impulsoras de la producción. Y cada fuerza da lugar a un juego diferente de curvas KR vs saturación. Hasta los puntos extremos de saturación dependen del mecanismo de producción.
8. El desarrollo de Buckley y Leverett, completado con el trabajo de Welge, permitió derivar una relación simple, para sistemas lineales, entre la curva de flujo fraccional y los parámetros fundamentales del desplazamiento inmiscible (regido por fuerzas viscosas).
9. El desarrollo de Welge permitió relacionar la saturación media del sistema con la saturación del extremo de producción (cuando el mecanismo de producción obedece al desplazamiento viscoso).
10. La construcción de la curva de flujo fraccional no depende de ninguna teoría. Es sólo un gráfico de la dependencia de los caudales de producción, con la saturación de fases en el extremo de producción.
11. La interpretación habitual de la curva de flujo fraccional SÍ depende de una teoría (la teoría del avance frontal de Buckley y Leverett / Welge).
12. Dado que se disponía de una excelente descripción del desplazamiento inmiscible para sistemas lineales, se dio por sentado que todo sistema “reducible” a un sistema lineal debía responder a las ecuaciones del sistema lineal (un supuesto increíblemente débil).
13. Las pseudo-funciones de KR son una herramienta destinada a reducir sistemas complejos a sistemas más simples (generalmente se intenta obtener una curva que describa un sistema lineal equivalente al sistema complejo).

Para mostrar la debilidad del argumento señalada en el punto 12, puedo recurrir a millares de ejemplos físicos donde un sistema complejo que se reduce a una formulación más simple automáticamente pierde posibilidades de descripción de la realidad.

• Cuando un conjunto de fuerzas se reemplaza por una resultante, esa resultante es incapaz de explicar los detalles del sistema. Puedo emplear una fuerza resultante para cálcular el tiempo en que un vehículo recorrerá los siguientes 100 m. Pero esa resultante no me permite explicar por qué se rompió una biela en el mismo trayecto, o por qué se perforó la tapa de cilindros, o por qué el conductor apretó mal los pedales y no pudo alcanzar la velocidad prevista. Las teorías simples son maravillosas, pero los detalles a veces son fundamentales.
• Si, para describir la temperatura de un gas se emplea sólo la velocidad media de las moléculas y más adelante se emplea esa velocidad para describir la velocidad de las reacciones químicas en las que inteviene el gas, los cálculos resultan erróneos pues a cualquier temperatura hay moléculas con velocidades por encima y por debajo de la media. La velocidad media permite predecir la presión, pero no la velocidad de las reacciones químicas.
• etc, etc.

Sin embargo prefiero emplear el ejemplo que estoy desarrollando en esta página.

En la figura 2 se observa que la saturación en el extremo de producción (Sw2) es muy diferente a la saturación media del sistema. ¡Pero en la figura 4 ambas saturaciones son iguales!. Es evidente que el desarrollo de Welge no puede aplicarse a la producción ejemplificada en la figura 4. La pseudo función es correcta. El uso de la pseudo-función es incorrecto si se pretende usar la curva de flujo fraccional en su forma habitual. O sea que nos encontramos decidídamente frente a un caso reducido a un sistema lineal donde no son aplicables las ecuaciones del sistema lineal.

¿Dónde está la inconsistencia?. En que en el desarrollo de Buckley y Leverett se eliminó el equilibrio gravitacional para hacer la deducción de las ecuaciones. No es sorprendente que esas ecuaciones no describan el resultado del equilibrio gravitacional.

En realidad la falla es muy profunda: Al validar las ecuaciones del desplazamiento frontal para todos los sistemas lineales se le está dando validez a las fórmulas fuera del estricto ámbito en que fueron desarrolladas.

Y si a esta altura el comentario es: De acuerdo, pero no tengo nada mejor y por lo tanto seguiré usando este modelo, debo aclarar que con poco esfuerzo se puede emplear un modelo mucho más consistente. Cuando se identifica y se entiende el problema, recién se está en condiciones de resolverlo.

Otras aclaraciones pertinentes:

La simulación numérica con la curva de la figura 3, genera una historia de producción en concordancia con el modelo del caso 1 (fig. 2). Esto no es sorprendente pues (aunque parezca extraño por ser un sistema laminado) este modelo (M=1) cumple con el desarrollo de Buckley y Leverett.

Cuando empecé este desarrollo mencioné que elegía la relación de movilidades igual a 1. Ahora espero mostrar por qué es necesario hacerlo:

En el ejemplo de la figura 2 (capas no comunicadas) para calcular las pseudo-funciones de KR se emplea la ley de Darcy, relacionando caudales con gradientes de presión. Y esto es posible sólo porque el gradiente de presiones es el mismo en todas las capas y además es el mismo a lo largo de toda la longitud del modelo. En cuanto M deja de tener el valor 1, los gradientes en cada capa sufren un quiebre en la interfase (o una variación continua), diferente para cada capa. En ese caso el cálculo de la curva de KR en el extremo de producción es conceptualmente incongruente pues si bien existen caudales de producción no existe un gradiente de presiones único (además, la relación entre los gradientes de las diferentes capas es variable en el tiempo). Y la ley de Darcy para el conjunto necesita un gradiente único en cada punto del cálculo.

En consecuencia. la curva de KR derivada en la figura 2 para M=1 no sólo no es válida para otros valores de M, sino que carece de significado físico, pues la ley de Darcy no es definible en el extremo de producción.

Sin embargo es definible una curva KR media. Pues existen caudales medios, saturaciones medias y gradientes medios (identicos para todas las capas).

Las Conclusiones

Por ahora quiero destacar únicamente dos conclusión de todo este desarrollo.

Es marcadamente incorrecto emplear las ecuaciones de Welge para describir sistemas lineales o pseudo-lineales en los que intervienen otras fuerzas además de las fuerzas viscosas.

El concepto de permeabilidad relativa pierde sentido físico cuando lo pierde la ley de Darcy. Las curvas KR son un factor de corrección de la ley de Darcy. Y esta ley pierde sentido físico cuando no se pueden establecer las variables que relaciona (en particular caudal y gradiente de presiones).

Dejo para más adelante, la resolución completa del problema pues es necesario establecer otros puntos antes de plantear un desarrollo consistente.

■ REFERENCIAS

1 – Forchheimer, P: “Wasserbewegung durch Boden”, ZVDI (1901) vol. 45 1781.

2 – Klinkenberg, L.,J.: “The Permeability of Porous Media to Liquids and Gases”, Drill and Prod. Prac., API (1941), 230.

3 – Geffen, T.M., Owens, W.W., Parrish, D.R., and Morse, R.A.: “Experimental Investigation of Factors Affecting Laboratory Relative Permeability Measurements”, Trans., AIME (1951), 192, 99.

4 – Honarpour, M., Koederitz, L., and Harvey, A.H.: Relative Permeability of Petroleum Reservoirs, CRC Press, (1986).

5 – Jakobse, S.R., Ingsoy, P., Braun, T., Guo, Y., Aga, M.: “Assessing the Relative Permeability of Heterogeneous Reservoir Rock”, SPE 28856

6 – MacMillan, D.J.: “Automatic History Matching of Laboratory Corefloods to Obtain Relative Permeability Curves”, SPERE, Feb., 1987, 85-92.

7 – Crotti, M. A., Rosbaco, J.: “Relative Permeability Curves: The Influence of Flow Direction and Heterogeneities. Dependence of End Point Saturations on Displacement Mechanisms”. SPE 39657

8 – Huppler, H.D., “Numerical Investigation of the Effects of Core Heterogeneities on Waterflood Relative Permeabilities”,  , AIME (1970) 249, 381.

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