Ya fue analizada (en la página Un Análisis Especial de la Ley de Darcy) la modificación hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifásico en medios porosos.

En dicho desarrollo quedó establecido que las curvas de permeabilidad relativa son sólo un factor de corrección de la ecuación de Darcy.  Aunque parezca trivial mencionarlo, una consecuencia directa de esta definición es que las curvas de permeabilidad relativa pierden significado físico si, por alguna razón, la ley de Darcy no resulta aplicable.

En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es aplicable como consecuencia, principalmente, de la pérdida de linealidad entre el gradiente de presión y el caudal que fluye por el sistema. Si bien esta situación representa un caso obvio de pérdida de significado de las curvas de permeabilidad relativa, en el presente desarrollo voy a analizar una situación no documentada en la literatura especializada y que afecta de manera mucho más profunda el uso habitual de las curvas de KR.

La Tesis que se analiza en los párrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma:

Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuación no están definidas.

Y en este punto es importante destacar que con la expresión “…  no están definidas”, no hago referencia a un problema de medición o de metodología. Lo que quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan de ser válidos los resultados derivados a partir de la aplicación de la ecuación de Darcy. Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer algunas analogías que ayuden a entender el enfoque de esta página.

Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de preguntas en un formulario que tiene casilleros específicos con códigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe:

A la pregunta: ¿Peso del objeto?, seguramente podremos responder sin ambigüedad llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg del objeto.

Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen, lugar de destino, longitud, ancho, etc…)

Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre 20 colores pre-establecidos. Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul.

Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres alternativas:

• Amarillo.
• Azul.
• Verde.

Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto, pero Verde (resultado de mezclar 50% de Amarillo con 50% de azul) parece peor aún. A modo de ejemplo, si a alguien se le pide que nos alcance el objeto verde que está en una habitación, difícilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido.

Bien, como veremos a continuación, este ejemplo risueño no está tan lejos de la realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo monofásico (un solo color) al ámbito de los flujos multifásicos (varios colores). Si los colores están uniformemente distribuidos podremos decir “verde” para describir el objeto, pero si los colores (fluidos) no están uniformemente distribuidos tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples.

Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy, para aplicar dicha ecuación al flujo multifásico se encontraron dos “soluciones” que evitaban la ambigüedad originada entre la definición y la posibilidad de medición:

• La definición de permeabilidad (corazón de la ecuación de Darcy) implica la determinación de la capacidad de conducción de un determinado fluido.
• Lo único que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyección o de producción de un determinado fluido.

La primera “solución”, respetando el orden histórico, fue la de re-crear las condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy: Inyección = Conducción = Producción. De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa.

(NOTA: No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de conducir fluidos. Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su capacidad de admitir o expulsar fluidos).

Esta primera “solución” se logró mediante el sistema estacionario de medición (Penn-State o sus variantes posteriores), donde se inyecta una cierta proporción de ambas fases hasta que la producción se hace idéntica a la inyección (se alcanza el estado estacionario). En ese momento todas las variables de la ecuación de Darcy están perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporción de pigmento azul y de pigmento Amarillo).

La segunda “solución” consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos (inyectar, conducir y producir) son idénticos por definición. Esta situación se presenta tomando una sección de longitud cero (una lámina bidimensional) en el medio poroso. En una lámina de espesor nulo todo lo que se inyecta inevitablemente  se conduce y se produce. Esta condición no puede lograrse en ninguna medición real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no nulo, de modo que se obtiene a través de un cálculo medianamente complejo. En resumen, esto es lo que se hace mediante el cálculo de KR con el método no-estacionario (Welge^1,2, JBN³, Jones-Roszele⁴): Se miden las variables medias del sistema y se calculan lo que ocurre en una lámina de espesor nulo. Esta lámina es, por conveniencia, el extremo de producción pues es el único lugar en que se puede evaluar físicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas: La Producción del sistema.

En medios homogéneos ambas “soluciones” brindan el mismo resultado, y esa solución es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy.

A modo de analogía, tanto en Física como en Matemáticas es frecuente que los problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolución de las ecuaciones es particularmente simple. Y, a primera vista, parece que esa es la vía elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos multifásicos. Sin embargo, es conveniente señalar dos puntos en este enfoque.

• Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales.
• En el caso de la ecuación de Darcy no se recurre a casos particulares para simplificar ecuaciones complejas, sino porque es la única forma de obtener un valor único para algunas variables del cálculo.

En otras palabras, lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo histórico es que en la caracterización de reservorios muy raras veces el reservorio es “Verde”. Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema.

Quizás un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema:

Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la delgadez es útil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en su interior). Si el tubo está vacío parece evidente que su capacidad de conducir agua es nula (K_w = 0). Por muy grande que sea la diferencia de presión que apliquemos entre sus extremos, difícilmente el tubo sea capaz de conducir agua, hasta que tenga agua en su interior. En términos de la ecuación de Darcy diríamos que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturación de agua es cero.

Sin embargo nadie pensaría que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero. Lo que sí es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua alcanza el extremo de salida. Dicho de otra forma, podemos estar inyectando agua sin producir agua.

Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones (inyectar, conducir y producir) en un sistema no estacionario, tratemos de analizar qué ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50% de su longitud.

¿Cuál es la capacidad de conducir agua cuando la saturación de agua es sólo del 50%?.

Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la pelota azul y amarilla. En la pelota teníamos dos colores y nos pedían que la describiéramos con uno solo. Ahora tenemos dos capacidades de conducción bien definidas (El valor “X” que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua). ¿Qué valor ponemos en la ecuación de Darcy?:

• ¿X? (¿Azul?)
• ¿0? (¿Amarillo ?)
• ¿X/2? (¿Verde?)

Al dar la respuesta (que no parece fácil) debemos tener en cuenta que la ecuación de Darcy nos pide la capacidad de conducción del sistema y para ello nos da un casillero único en el que podemos poner un sólo valor. La ecuación de Darcy se transformó en el formulario del risueño ejemplo de la pelota de Basquetball.

Y además, recordando que trabajamos en la industria del petróleo, en cualquier sistema real sólo nos interesa la capacidad de inyección o de producción. La capacidad de conducción es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir. Cuando se habla de la admisión o de la producción de un determinado pozo, damos por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo, pero las variables realmente medibles son las del pozo.

En este punto, y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequeño resumen de la situación a la que hemos llegado:

1. La ecuación de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos monofásicos en medios porosos.
2. Para describir flujos multifásicos se adoptó un modelo basado en la ecuación de flujo monofásico, corregida por un factor que adopta la forma de una Curva de Permeabilidad Relativa.
3. Este factor, una vez determinado (experimental o analíticamente) depende sólo de la saturación de las diferentes fases en el medio poroso.
4. Sin embargo, como se mostró en este desarrollo, la capacidad de conducción de fluidos (corazón de la ecuación de Darcy) no puede definirse en sistemas con saturación no homogénea. En estos sistemas sólo existe una capacidad perfectamente definida de inyección y de producción.

La respuesta al problema planteado (cómo describir el flujo multifásico en sistemas reales) no es la que nuestra industria ha estado usando históricamente. Nuestra industria ha respondido, desde sus orígenes, con…

¡”Verde”!.

Y, claro, esto ha originado algunos problemas. Recordemos, por ejemplo, que en una celda de un simulador numérico se resuelve la ecuación de Darcy con el color Verde. Esto da lugar, entre otras cosas, al conocido fenómeno de dispersión numérica⁵.

Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos.

La solución para diferentes situaciones se analiza en las siguientes páginas:

• Solución Conceptual.
• Solución de un Sistema Simple.
• Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias.
• Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas.
• Flujos dominados por las Fuerzas Capilares.

■ REFERENCIAS

1.- Buckley, S.E., and Leverett, M.C.: “Mechanism of Fluid Displacement in Sands”, Trans., AIME (1942) 146, 107-116.

2.- Welge H.,J.: “A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive”, Trans, AIME (1952), 195, 91

3.- Johnson, E.F., Bossler, D.P., and Naumann, V.O.: “Calculation of Relative Permeability from Displacement Experiments”, Trans., AIME (1959) 216, 370-372.

4.- Jones, S.C., and Roszelle, W.O., “Graphical Techniques for Determining Relative Permeability from Displacement Experiments”, J. Pet Tech. (May 1978) 807-817; Trans., AIME, 265

5 – Crotti, M.,  and Cobeñas, R., “Scaling Up of Laboratory Relative Permeability Curves. An Advantageous Approach Based on Realistic Average Water Saturations”, SPE 69394

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